PROBLEMA 17

Beltrán, de 31 años, recibirá el premio José Luis Rubio de Francia para jóvenes matemáticos por resolver el problema 17 de la famosa lista junto con su director de tesis, Luis M. Pardo. Beltrán "domina técnicas matemáticas -en numerosas áreas- a un impresionante nivel de profundidad", según señala el jurado del premio, integrado entre otros expertos internacionales por el medalla Fields Efim Zelmanov y por Yves Meyer, premio Carl Friedrich Gauss.

Beltrán y Pardo publicaron la solución del 'problema 17 de Smale' en 2009. La lista de Smale se compone de 18 problemas seleccionados por el investigador estadounidense Steven Smale a petición de la Unión Matemática Internacional (IMU) en 2000, y que él consideraba los "grandes problemas para el siglo XXI".

 ¿Que es?

El problema 17 trata sobre cómo resolver 'sistemas de ecuaciones polinomiales', un tipo de ecuaciones que aparecen en problemas y aplicaciones muy distintos; la solución del problema 17 por tanto beneficia a múltiples áreas de la matemática, básica y aplicada.

El problema persigue encontrar un nuevo método para resolver los sistemas de ecuaciones polinomiales, y también garantizar que otros métodos ya existentes son fiables y darán su solución en un tiempo asumible.

Hoy el problema ha ganado importancia, porque ahora las ecuaciones polinomiales se resuelven con ordenadores y es necesario saber si el programa que se emplea en cada caso consumirá demasiados recursos o tardará un tiempo excesivo. Así, el problema 17 funciona como un seguro previo: pregunta si existe una manera de asegurarse de que el esfuerzo invertido valdrá la pena.

Tres años de trbajo

Betrán y Pardo trabajaron "muy intensamente" durante unos tres años y hallaron la solución. "Los matemáticos del siglo XIX ya pensaban en cómo abordar los sistemas de ecuaciones polinomiales", explica Beltrán, que añade que Smale lo reformuló adaptándolo a la actualidad y al uso de ordenadores.

 

                                    Diofanto de Alejandría

 -Nacido cerca del 200 d.C. Muere hacia el 284 d.C.

No se sabe con exactitud cuándo vivió Diofanto, pero se asume que alrededor del 250 d.C. Su principal obra es la Arithmetica, en trece libros, de los cuales sobrevivieron sólo los seis primeros. La Arithmetica no es una exposición sistemática de operaciones o funciones algebraicas o de la solución de ecuaciones algebraicas, sino una colección de 150 problemas concebidos en términos de ejemplos numéricos específicos (no es un texto de álgebra, sino una colección de problemas de álgebra aplicada).



Su trabajo se aleja de la tradición euclidiana del álgebra geométrica y se aproxima más al álgebra babilónica numérica, aunque se diferencia de esta última por buscar soluciones exactas, positivas y racionales a ecuaciones determinadas (con una única solución) e indeterminadas, y también se diferencia por ser sus números totalmente abstractos y no referirse a medidas concretas, como dimensiones de campos o unidades monetarias, lo cual era característico de la tradición matemática del cercano Oriente.

                                             ARQUÍMEDES

Considerado como el científico y matemático más importante de la Edad Antigua, y uno de los más grandes de toda la historia. Su padre Fidias fue astrónomo e influyó de forma notable en su educación. En aquella época, Alejandría estaba considerada como el centro de investigación y estudio más importante del mundo conocido. Arquímedes viajó hasta esta ciudad y estudió con los discípulos de Euclides, lo cual representó una influencia importante en su forma de entender las matemáticas. El resto de su vida la pasó en Siracusa, dedicado por completo a sus trabajos e investigaciones, con una dedicación y una intensidad tal que...

"... se olvidaba de comer y descuidaba su persona, hasta tal punto que, cuando en ocasiones era obligado por la fuerza a bañarse y perfumarse, solía trazar figuras geométricas en las cenizas del fuego y diagramas en los ungüentos de su cuerpo, y estaba embargado por una total preocupación y, en un muy cierto sentido, por una posesión divina de amor y deleite por la ciencia." (Plutarco)

Algunos de sus descubrimientos son el tornillo sin fin (o de Arquímedes) utilizado para elevar agua, la polea compuesta, el torno, la rueda dentada, el principio de la hidrostática y la ley de la palanca. Durante el asedio de los romanos a la ciudad de Siracusa, construyó máquinas de guerra basadas en palancas, catapultas y un sistema de espejos con el que incendió las naves romanas. 

Arquímedes determinó el volumen de una esfera

           Euclides de Alejandría

No se sabe con certeza ni donde ni cuando nació, pero sí que vivió antes que Arquímedes, después de Eudoxo, y que fue contemporáneo del primer Ptolomeo (367-283 a. de C.). Sus ideas nos hacen pensar que estudió en Atenas con discípulos de Platón. Fue llamado desde Alejandría, y allí fundó una escuela en la que realizó su actividad científica y enseño matemáticas durante más de 20 años. Su principal obra es "Elementos de Geometría", conocida como "Los Elementos". Se trata de un extenso tratado formado por trece libros, donde recopila casi todo el saber matemático de la época. Su gran importancia se debe a la forma en que se organizan y exponen los contenidos (método axiomático). Partiendo de una serie de definiciones, nociones y postulados, va demostrando paso a paso todas y cada una de las proposiciones que aparecen en los trece libros, lo cual es un modelo ejemplar de rigor y claridad.

Casi desde el momento en que se escribió y casi hasta el presente, los "Elementos" han ejercido una continua e importante influencia en los asuntos humanos. Fue la primera fuente de razonamiento geométrico, teoremas y métodos al menos hasta la llegada de la geometría no euclídea en el siglo XIX. Algunas veces se ha dicho, que junto con la Biblia, los "Elementos" puede ser el libro más traducido, editado y estudiado de todos los producidos en el mundo occidental. (van der Waerden)

Se utilizó como texto de estudio durante casi 2000 años y seguramente nunca se podrá dejar de mirar a esta magistral obra. La primera versión impresa apareció en Venecia en 1482 y fue una traducción del árabe al latín. En 1505 se publica la primera versión en latín traducida directamente del griego. En España la primera versión se realiza en Sevilla en 1576.

                                                Aristóteles

Aristóteles nació en el año 384 a.C. en una pequeña localidad macedonia cercana al monte Athos llamada Estagira,, el Estagirita. Su padre, Nicómaco, era médico de la corte de Amintas III, padre de Filipo y, por tanto, abuelo de Alejandro Magno. Nicómaco pertenecía a la familia de los Asclepíades, que se reclamaba descendiente del dios fundador de la medicina y cuyo saber se transmitía de generación en generación. Ello invita a pensar que Aristóteles fue iniciado de niño en los secretos de la medicina y de ahí le vino su afición a la investigación experimental y a la ciencia positiva. Huérfano de padre y madre en plena adolescencia, fue adoptado por Proxeno, al cual pudo mostrar años después su gratitud adoptando a un hijo suyo llamado Nicanor.

        Aristóteles

 

En el año 367, es decir, cuando contaba diecisiete años de edad, fue enviado a Atenas para estudiar en la Academia de Platón. No se sabe qué clase de relación personal se estableció entre ambos filósofos, pero, a juzgar por las escasas referencias que hacen el uno del otro en sus escritos, no cabe hablar de una amistad imperecedera. Lo cual, por otra parte, resulta lógico si se tiene en cuenta que Aristóteles iba a iniciar su propio sistema filosófico fundándolo en una profunda critica al platónico. Ambos partían de Sócrates y de su concepto de eidos, pero las dificultades de Platón para insertar su mundo eidético, el de las ideas, en el mundo real obligaron a Aristóteles a ir perfilando términos como «sustancia», «esencia» y «forma» que le alejarían definitivamente de la Academia. En cambio es absolutamente falsa la leyenda según la cual Aristóteles se marchó de Atenas despechado porque Platón, a su muerte, designase a su sobrino Espeusipo para hacerse cargo de la Academia. En su condición de macedonio Aristóteles no era legalmente elegible para ese puesto.

Alejandro Magno en el horizonte

A la muerte de Platón, ocurrida en el 348, Aristóteles contaba treinta y seis años de edad, habla pasado veinte de ellos simultaneando la enseñanza con el estudio y se encontraba en Atenas. Así que no debió de pensárselo mucho cuando supo que Hermias de Atarneo, un soldado de fortuna griego que se habla apoderado del sector noroeste de Asia Menor, estaba reuniendo en la ciudad de Axos a cuantos discípulos de la Academia quisieran colaborar con él en la helenización de sus dominios. Aristóteles se instaló en Axos en compañía de Xenócrates de Calcedonia, un colega académico, y de Teofrasto, discípulo y futuro heredero del legado aristotélico.

El Estagirita pasaría allí tres años apacibles y fructíferos, dedicándose a la enseñanza, a la escritura (gran parte de su Política la redactó allí) y a la reproducción, ya que primero se casó con una sobrina de Hermias llamada Pitias, con la que tuvo una hija. Pitias debió de morir muy poco después y Aristóteles se unió a otra estagirita, de nombre Erpilis, que le dio un hijo, Nicómaco, al que dedicaría su Ética. Dado que el propio Aristóteles dejó escrito que el varón debe casarse a los treinta y siete años y la mujer a los dieciocho, resulta fácil deducir qué edades debían tener una y otra cuando se unió a ellas.

Tras el asesinato de Hermias, en el 345, Aristóteles se instaló en Mitilene (isla de Lesbos), dedicándose, en compañía de Teofrasto, al estudio de la biología. Dos años más tarde, en el 343, fue contratado por Filipo de Macedonia para que se hiciese cargo de la educación de su hijo Alejandro, a la sazón de trece años de edad. Tampoco se sabe mucho de la relación entre ambos, ya que las leyendas y las falsificaciones han borrado todo rastro de verdad. Pero de ser cierto el carácter que sus contemporáneos atribuyen a Alejandro (al que tachan unánimemente de arrogante, bebedor, cruel, vengativo e ignorante), no se advierte rasgo alguno de la influencia que Aristóteles pudo ejercer sobre él.

La vuelta a casa

Poco después de la muerte de Filipo, Alejandro hizo ejecutar a un sobrino de Aristóteles, Calístenes de Olinto, a quien acusaba de traidor. Conociendo el carácter vengativo de su discípulo, Aristóteles se refugió un año en sus propiedades de Estagira, trasladándose en el 334 a Atenas para fundar, siempre en compañía de Teofrasto, el Liceo, una institución pedagógica que durante años habría de competir con la Academia platónica, dirigida en ese momento por su viejo camarada Xenócrates de Calcedonia.

                   

                     Platón y Aristóteles en La Escuela de Atenas, de Rafael

Los once años que median entre su regreso a Atenas y la muerte de Alejandro, en el 323, fueron aprovechados por Aristóteles para llevar a cabo una profunda revisión de una obra que, al decir de Hegel, constituye el fundamento de todas las ciencias. Para decirlo de la forma más sucinta posible, Aristóteles fue un prodigioso sintetizador del saber, tan atento a las generalizaciones que constituyen la ciencia como a las diferencias que no sólo distinguen a los individuos entre sí, sino que impiden la reducción de los grandes géneros de fenómenos y las ciencias que los estudian. Como él mismo dice, los seres pueden ser móviles e inmóviles, y al mismo tiempo separados (de la materia) o no separados. La ciencia que estudia los seres móviles y no separados es la física; la de los seres inmóviles y no separados es la matemática, y la de los seres inmóviles y separados, la teología.

La aventura de los manuscritos

Con la muerte de Alejandro, en el 323, se extendió en Atenas una oleada de nacionalismo (antimacedonio) desencadenado por Demóstenes, hecho que le supuso a Aristóteles enfrentarse a una acusación de impiedad. No estando en su ánimo repetir la aventura de Sócrates, Aristóteles se exilió a la isla de Chalcis, donde murió en el 322. Según la tradición, Aristóteles le cedió sus obras a Teofrasto, el cual se las cedió a su vez a Neleo, quien las envió a casa de sus padres en Esquepsis sólidamente embaladas en cajas y con la orden de que las escondiesen en una cueva para evitar que fuesen requisadas con destino a la biblioteca de Pérgamo.

Muchos años después, los herederos de Neleo se las vendieron a Apelicón de Teos, un filósofo que se las llevó consigo a Atenas. En el 86 a.C., en plena ocupación romana, Sila se enteró de la existencia de esas cajas y las requisó para enviarlas a Roma, donde fueron compradas por Tiranión el Gramático. De mano en mano, esas obras fueron sufriendo sucesivos deterioros hasta que, en el año 60 a.C., fueron adquiridas por Andrónico de Rodas, el último responsable del Liceo, quien procedió a su edición definitiva. A él se debe, por ejemplo, la invención del término «metafísica», título bajo el que se agrupan los libros VII, VIII y IX y que significa, sencillamente, que salen a continuación de la física.

Con la caída del Imperio romano, las obras de Aristóteles, como las del resto de la cultura grecorromana, desaparecieron hasta que, bien entrado el siglo XIII, fueron recuperadas por el árabe Averroes, quien las conoció a través de las versiones sirias, árabes y judías. Del total de 170 obras que los catálogos antiguos recogían, sólo se han salvado 30, que vienen a ocupar unas 2.000 páginas impresas. La mayoría de ellas proceden de los llamados escritos «acroamáticos», concebidos para ser utilizados como tratados en el Liceo y no para ser publicados. En cambio, todas las obras publicadas en vida del propio Aristóteles, escritas para el público general en forma de diálogos, se han perdido.

  Cronología

384 a.C.	Nace en Estagira, Macedonia (de ahí su sobrenombre de El Estagirita).
367 a.C.	Se traslada a Atenas para estudiar en la Academia de Platón, donde más tarde ejerce como maestro.
347 a.C.	Muere Platón.
348 a.C.	Se traslada a Axos, donde sirve a Hermias de Atarneo. Durante esta etapa contrae matrimonio con Pitias, sobrina de Hermias, con la que tuvo una hija. Tras la muerte prematura de Pitias se casa con Erpilis, con quien tiene un hijo, Nicómaco, al que dedicará su Ética para Nicómaco. También redacta su Política.
345 a.C.	Tras el asesinato de Hermias, se instala en Mitilene (Lesbos). Se dedica al estudio de la biología con Teofrasto.
343 a.C.	Filipo de Macedonia le contrata como tutor de su hijo Alejandro.
334 a.C.	Al acceder Alejandro al trono, Aristóteles regresa a Atenas y funda el Liceo. En esta etapa produce la mayor parte de su obra.
323 a.C.	La muerte de Alejandro levanta un oleada antimacedónica en Atenas que obliga a Aristóteles a exiliarse.
322 a.C.	Muere en la isla de Chalcis, tierra de su madre, a los sesenta y dos años de edad.

                                                Tales de Mileto

 Filosófo y matemático griego. En su juventud viajó a Egipto, donde aprendió geometría de los sacerdotes de Menfis, y astronomía, que posteriormente enseñaría con el nombre de astrosofía. Dirigió en Mileto una escuela de náutica, construyó un canal para desviar las aguas del Halis y dio acertados consejos políticos. Fue maestro de Pitágoras y Anaxímenes y contemporáneo de Anaximandro.

Fue el primer filósofo griego que intentó dar una explicación física del Universo, que para él era un espacio racional pese a su aparente desorden. Sin embargo, no buscó un Creador en dicha racionalidad, pues para él todo nacía del agua, la cual era el elemento básico del que estaban hechas todas las cosas ; del agua se forman los cuerpos sólidos al condensarse y la Tierra flota en ella. Tales se planteó la siguiente cuestión: si una sustancia puede transformarse en otra, como un trozo de mineral azulado lo hace en cobre rojo, ¿cuál es la naturaleza de la sustancia, piedra, cobre, ambas? ¿Cualquier sustancia puede transformarse en otra de forma que finalmente todas las sustancias sean aspectos diversos de una misma materia? Tales consideraba que esta última cuestión sería afirmativa, puesto que de ser así podría introducirse en el Universo un orden básico; quedaba determinar cuál era entonces esa materia o elemento básico.

Finalmente pensó que era el agua, pues es la que se encuentra en mayor cantidad, rodea la Tierra, impregna la atmósfera en forma de vapor, corre a través de los continentes y la vida no es posible sin ella. La Tierra, para él, era un disco plano cubierto por la semiesfera celeste flotando en un océano infinito. Esta tesis sobre la existencia de un elemento del cual estaban formadas todas las sustancias cobró gran aceptación entre filósofos posteriores, a pesar de que no todos ellos aceptaron que el agua fuera tal elemento. Lo importante de su tesis es la consideración de que todo ser proviene de un principio originario, sea el agua, sea cualquier otro. El hecho de buscarlo de una forma científica es lo que le hace ser considerado como el "padre de la filosofía".

En geometría, y en base a los conocimientos adquiridos en Egipto, elaboró un conjunto de teoremas generales y de razonamientos deductivos a partir de estos. Todo ello fue recopilado posteriormente por Euclides en su obra Elementos, pero se debe a Tales el mérito de haber introducido en Grecia el interés por los estudios geométricos.

Ninguno de sus escritos ha llegado hasta nuestros días; a pesar de ello, son muy numerosas las aportaciones que a lo largo de la historia, desde Herodoto, Jenófanes o Aristóteles, se le han atribuido.

Aristóteles consideró a Tales como el primero en sugerir un único sustrato formativo de la materia

                   

 

 El primer matemático de la historia

Pitágoras es una de las figuras más importantes y, sin embargo, más misteriosas del Siglo VI antes de Cristo, que es también la época del príncipe Siddhartha Gautama, de Lao-Tse y de Confucio. Como no existen relatos originales, su figura queda envuelta en el mito y la leyenda, y resulta difícil separar los hechos de la ficción. Ninguno de los datos de su vida puede darse como seguro, salvo que pasó su infancia en Samos, que ya bien entrado en la cincuentena escapó de la tiranía de Polícrates para establecerse en Trotona, donde vivió 20 años, y que murió en Metaponto. A partir de aquí todas las afirmaciones han de matizarse con un “posiblemente”.

 Nacido hacia el año 569 a.C. posiblemente en Samos, una montañosa isla del mar Egeo, próxima a la costa de Turquía. Era hijo de Mnesarco y su mujer Pitias.

Parece que en Mleto pudo haber aprendido algo de geometría de Anaximandro e incluso del entonces anciano Tales , uno de los sabios de Grecia. Quizás por su consejo viajo por Egipto durante 20 años , donde  aprendió más geometría y astronomía y se inició en cuestiones religiosas; después lo llevaron prisionero a Babilonia cuando Egipto fue conquistado por los presas.

Cuando tenía 56 años se estableció en Trotona,, al sur de la península Itálica. Allí creó una Academia y la llamada Hermandad Pitágorica, una especie de secta o comuna de hombres y mujeres de carácter religioso-filosófico-científico-político que llego a tener 600 miembros. Hasta entonces estuvo soltero. Allí se casó con Teano, discípula de la Academia e hija de Milón de Trotona, hombre rico y muy famoso como luchador, pues se había erigido como campeón en numerosas olimpiadas. Pitágoras dirigia la Hermandad Pitágorica desde la casa de su suegro, que le había cedido parte de las dependencias. 

Se ha dicho que quizás el carácter elitista y secreto de aquella Hermandad fue uno de los motivos de incomodidad en Crotona que llevaron al complot para asesinarlo, cuando tenía 80 años. Parece ser que consiguió escapar y murió (algunos dicen que se dejó morir de hambre) en la vecina ciudad de Metaponto, donde también tenía una comunidad de discípulos.

 Pitágoras y Teano tuvieron hijos e hijas. Tras la muerte de Pitágoras, su mujer se hizo cargo de la Academia y confió a una de sus hijas, Damo, la tarea de conservar y mantener en secreto los escritos de su padre. Teano se interesó por la física, la medicina y la pedagogía y destacó en matemáticas por sus trabajos sobre la proporción aurea.